ΜΑΣ 458 (Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων) και ΜΑΣ468 (Θέματα Στατιστικής ΙΙ)

Εργασία 3

Ημερομηνία Παράδοσης: 30/03/2019

  1. Να γράψετε συνάρτηση στην R, η οποία προσομοιώνει από οποιαδήποτε διακριτή κατανομή με πεπερασμένο πεδίο τιμών \(\{1,\dots, L\}\) με τη Μέθοδο Αντίστροφου Μετασχηματισμού. Η συνάρτηση θα πρέπει να παίρνει ως όρισμα ένα διάνυσμα πιθανοτήτων οποιουδήποτε πεπερασμένου μήκους και να επιστρέφει n δείγματα από την επιθυμητή κατανομή. Να χρησιμοποιήσετε τη συνάρτηση που γράψατε για να πάρετε δείγμα μεγέθους \(1000\) από τη διακριτή κατανομή με πιθανές τιμές \(\{1,2,3,4,5\}\), που έχουν αντίστοιχες πιθανότητες \(p=(0.25, 0.1, 0.2, 0.15, 0.3 )\). Να επιβεβαιώσετε γραφικά και με στατιστικό έλεγχο ότι το δείγμα που πήρατε ακολουθεί τη σωστή κατανομή. Πόσα βήματα κατά μέσο όρο χρειάζεται η μέθοδος αντίστροφου μετασχηματισμού σε αυτή την περίπτωση;

  2. Να γράψετε συνάρτηση στην R, η οποία προσομοιώνει από οποιαδήποτε διακριτή κατανομή με πεπερασμένο πεδίο τιμών \(\{1,\dots, L\}\) με τη Μέθοδο Απόρριψης, με χρήση της ομοιόμορφης διακριτής κατανομής. Η συνάρτηση θα πρέπει να παίρνει ως όρισμα ένα διάνυσμα πιθανοτήτων οποιουδήποτε πεπερασμένου μήκους και να επιστρέφει n δείγματα από την επιθυμητή κατανομή καθώς και τον αριθμό των επαναλήψεων που χρειάστηκαν για να παραχθεί το δείγμα. Να χρησιμοποιήσετε τη συνάρτηση που γράψατε για να πάρετε δείγμα μεγέθους \(1000\) από τη διακριτή κατανομή με πιθανές τιμές \(\{1,2,3,4,5\}\), που έχουν αντίστοιχες πιθανότητες \(p=(0.25, 0.1, 0.2, 0.15, 0.3 )\). Να επιβεβαιώσετε γραφικά και με στατιστικό έλεγχο ότι το δείγμα που πήρατε ακολουθεί τη σωστή κατανομή. Πόσα βήματα κατά μέσο όρο χρειάζεται η μέθοδος απόρριψης σε αυτή την περίπτωση; Συμφωνεί η θεωρητική τιμή με αυτή που επιστρέφει η συνάρτηση σας; Συγκρίνετε την απόδοση της μεθόδου απόρριψης με τη μέθοδο αντίστροφου μετασχηματισμού από την προηγούμενη άσκηση.

  3. Να γράψετε συνάρτηση στην R, η οποία προσομοιώνει από διωνυμική κατανομή με χρήση δειγμάτων Bernoulli (β’ τρόπος). H συνάρτηση θα πρέπει να παίρνει ως όρισμα τον επιθυμητό αριθμό δειγμάτων \(m\), τον αριθμό δοκιμών \(n\) και την πιθανότητα επιτυχίας \(p\) και να επιστρέφει ανεξάρτητο δείγμα μεγέθους \(m\) από την κατανομή \(Bin(n,p).\) Να χρησιμοποιήσετε τη συνάρτηση που γράψατε για να πάρετε δείγμα μεγέθους 1000 από τη \(Bin(10, 0.2)\). Να επιβεβαιώσετε γραφικά και με στατιστικό έλεγχο ότι το δείγμα που πήρατε ακολουθεί τη σωστή κατανομή.

  4. Έστω \(Z\sim N(0,1)\). Η κατανομή της \(X=|Z|\) ονομάζεται half-normal. Να δείξετε ότι η σ.π.π. της \(X\) είναι \[ f_X(x)= \frac{2}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}2}, x>0.\] Να θεωρήσετε προσομοίωση από τη \(X\) με τη Μέθοδο Απόρριψης με χρήση \(Exp(\lambda)\). Να βρείτε το αντίστοιχο \(M=M(\lambda)\) και να επιλέξετε
    το \(\lambda\) ούτως ώστε να βελτιστοποιήσετε την απόδοση της μεθόδου (με βάση τη θεωρία). Να υλοποιήσετε τη μέθοδο με χρήση συνάρτησης της R. H συνάρτηση θα πρέπει να παίρνει ως ορίσματα τον επιθυμητό αριθμό δειγμάτων \(n\) και την παράμετρο \(\lambda\) και να επιστρέφει το αντίστοιχο δείγμα από τη \(X\) με κατανομή half normal καθώς και τον αριθμό των επαναλήψεων που χρειάστηκαν για να παραχθεί το δείγμα. Να δοκιμάσετε διάφορες τιμές του \(\lambda\) για \(n=1000\) και να επιβεβαιώσετε και στην πράξη ότι η μέθοδος βελτιστοποιείται για την τιμή του \(\lambda\) που βρήκατε πιο πάνω. Να προτείνετε μέθοδο προσομοίωσης από την τυπική κανονική κατανομή, με χρήση της half normal. Να γράψετε 2η συνάρτηση στην R, η οποία παίρνει ως όρισμα τον επιθυμητό αριθμό δειγμάτων \(n\) και επιστρέφει αντίστοιχο δείγμα από την τυπική κανονική κατανομή. Η 2η αυτή συνάρτηση θα καλεί την 1η συνάρτηση (που προσομοιώνει από την half normal) και θα επεξεργάζεται κατάλληλα το δείγμα για να το μετατρέπει σε δείγμα από την τυπική κανονική κατανομή. Να χρησιμοποιήσετε τη συνάρτησή σας για να πάρετε δείγμα μεγέθους \(n=1000\) και να επιβεβαιώσετε ότι το δείγμα αυτό ακολουθεί τυπική κανονική κατανομή γραφικά και με στατιστικό έλεγχο.

  5. Να γράψετε συνάρτηση στην R που προσομοιώνει από τη μη ομογενή διαδικασία Poisson \(\{N(t): t\in[0,T]\}\) με συνάρτηση ρυθμού \(\lambda(t)=\frac{1}{t+a}\), \(t\geq0, a>0\), με τη μέθοδο thinning. H συνάρτηση θα παίρνει ως όρισμα το χρόνο \(T\) και το \(a\) και θα επιστρέφει μια πραγμάτωση της αντίστοιχης διαδικασίας Poisson στο χρόνο \(Τ\), \(N(T)\), καθώς και τους χρόνους στου οποίους συνέβηκαν γεγονότα (θα πρέπει να επιλέξετε κατάλληλο άνω φράγμα \(\lambda\) της συνάρτησης ρυθμού). Να παρουσιάσετε σε γράφημα μια πραγμάτωση της διδαδικασίας Poisson, για \(Τ=100, a=0.01\). Τι παρατηρείτε; Να ελέγξετε για τα ίδια \(T,a\), ότι η συνάρτηση που γράψατε όντως παράγει δείγματα από την επιθυμητή διαδικασία, παίρνοντας \(n=100\) δείγματα από την \(N(T)\) και ελέγχοντας κατάλληλα ότι η \(N(T)-N(0)=N(T)\) ακολουθεί τη σωστή κατανομή Poisson σύμφωνα με τη θεωρία.