ΜΑΣ 458 (Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων) και ΜΑΣ468 (Θέματα Στατιστικής ΙΙ)

Εργασία 1

Ημερομηνία Παράδοσης: 6/2/2019

  1. Να γράψετε πρόγραμμα στην R που υπολογίζει την τιμή του αθροίσματος \(1+2+\dots+100\). Ακολούθως να γράψετε συνάρτηση η οποία παίρνει ως όρισμα ένα ακέραιο αριθμό \(n\) και επιστρέφει το άθροισμα \(1+\dots+n\). Να εμφανίσετε το αποτέλεσμα της συνάρτησης που γράψατε για \(n=1000\).

  2. Να γράψετε πρόγραμμα στην R το οποίο χρησιμοποιεί ένα βρόγχο for για να τυπώσει στην οθόνη τους όρους της ακολουθίας \(100, 99, \dots, 0\), βάζοντας ένα όρο σε κάθε γραμμή. Ακολούθως να γράψετε συνάρτηση η οποία παίρνει ως όρισμα έναν ακέραιο αριθμό \(n>0\) και εκτυπώνει τους όρους της ακολουθίας \(n, n-1,\dots,0\) γραμμή προς γραμμή. Να εμφανίσετε το αποτέλεσμα της συνάρτησης που γράψατε για \(n=30\).

  3. Nα γράψετε πρόγραμμα στην R το οποίο χρησιμοποιεί ένα βρόγχο while για να υπολογίσει τον μικρότερο τετράγωνο αριθμό που είναι μεγαλύτερος του 5000. Ακολούθως να γράψετε συνάρτηση η οποία παίρνει ως όρισμα έναν ακέραιο αριθμό \(n>1\) και επιστρέφει τον μικρότερο τετράγωνο αριθμό που είναι μεγαλύτερος του \(n\). Να εμφανίσετε το αποτέλεσμα της συνάρτησης που γράψατε για \(n=1000\).

  4. Να γράψετε συνάρτηση στην R η οποία υπολογίζει το δειγματικό συντελεστή διασποράς δείγματος \(Χ_1,\dots,X_n\) \[s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2,\] όπου \(\bar{x}=\frac1n\sum_{i=1}^nx_i.\) Η συνάρτηση θα πρέπει να παίρνει ως όρισμα ένα διάνυσμα οποιουδήποτε μήκους το οποίο περιέχει το δείγμα και να επιστρέφει το \(s^2\). Να ορίσετε ένα διάνυσμα με τυχαίο δείγμα μεγέθους 100 από μια κατανομή της επιλογής σας και να χρηισιμοποιήσετε τη συνάρτησή σας για να βρείτε το \(s^2\). Δεν επιτρέπεται η χρήση της συνάρτησης var της R.

  5. Να γράψετε συνάρτηση στην R η οποία υπολογίζει το δειγματικό συντελεστή λοξότητας δείγματος \(Χ_1,\dots,X_n\) \[\gamma=\frac{1}{ns^3}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^3,\] όπου \(\bar{x}\) και \(s^2\) ορίστηκαν στην προηγούμενη άσκηση. Η συνάρτηση θα πρέπει να παίρνει ως όρισμα ένα διάνυσμα \(x\) οποιουδήποτε μήκους το οποίο περιέχει το δείγμα και να επιστρέφει το \(\gamma\). Να ορίσετε ένα διάνυσμα με τυχαίο δείγμα μεγέθους 100 από μια κατανομή της επιλογής σας και να χρησιμοποιήσετε τη συνάρτησή σας για να βρείτε το \(\gamma\).

  1. Να παράξετε στην R ανεξάρτητο και ισόνομο δείγμα μεγέθους 10000 από την κατανομή Bernoulli με πιθανότητα επιτυχίας \(p=1/3\). Να ελέγξετε γραφικά την ισχή του ισχυρού νόμου των μεγάλων αριθμών. Mπορείτε να χρησιμοποιήσετε την εντολή cumsum.

  2. Να δείξετε ότι αν \(Χ\) ακολουθεί τυπική κατανομή, τότε \(Υ=Χ^2\) ακολουθεί κατανομή \(\chi^2_1\) (δηλαδή κατανομή \(\chi^2\) με 1 βαθμό ελευθερίας).